Геометрия: основные понятия

• Геометрия

Этапы решения задачи "на геометрию"

1. Выразить условия задачи через уравнения и неравенства.
2. Решение системы уравнений/неравенств.
3. Интерпретация результатов, анализ частных случаев (деление на ноль, корень из отрицательного числа и т.д.).

Системы координат и векторы

Положение любой точки $P$ в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки. Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные. Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы (когда координатные оси расположены не под прямым углом). Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат.

Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.

Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей $O$ называется началом координат. На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки $P$ считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки $P$.

Когда говорят про двухмерную систему координат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью $Ox$), вертикальную ось - осью ординат (осью $Оy$). Положительные направления выбирают на оси $Ox$ - вправо, на оси $Oy$ - вверх. Координаты $x$ и $y$ называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись $P(a,b)$ означает, что точка $P$ на плоскости имеет абсциссу $a$ и ординату $b$  (рис.1).

Декартовыми прямоугольными координатами точки $P$ в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.

Отрезок, концы  которого упорядочены (рис.2), называется направленным (упорядоченность означает, что один конец отрезка считается начальной точкой, а другой – конечной).

Направленный отрезок называется вектором.

Длина вектора называется его модулем:
| a | – обозначение модуля вектора a.

Проекции вектора $a$ с начальной точкой $(x_1,y_1)$ и конечной точкой $(x_2,y_2)$ на оси координат называются координатами вектора: $a = \{ x_2 – x_1, y_2 – y_1\}$ или a(X, Y). Модуль вектора через его координаты: $|a| = \sqrt{X^2+Y^2}$

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и направление (равенство соответствующих координат), следовательно, алгебраическое представление вектора — это упорядоченный набор чисел (его координаты). Сложение и вычитание векторов a(X₁,Y₁) и b(X₂, Y₂), умножение вектора на число t определяются по следующим правилам:

a ± b = (X₁ ± X₂,Y₁ ± Y₂)

ta = (tX₁, tY₁)

Вектора, отличающиеся множителем, называются коллинеарными.

Скалярное и векторное произведение

Скалярное произведение двух векторов – это число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними (a, b) = |a|·|b| cosφ.

Следствие. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Угол между векторами – это наименьший угол между направленными отрезками, приведенными к одной начальной точке (рис. 3).

1.   Если угол φ - острый, то (a, b)>0.

2.   Если угол φ - тупой, то (a, b)<0.

3.   Если   вектор a перпендикулярен вектору b, то (a, b)=0.

4.   (a, a) = |a|².

Скалярное произведение двух векторов a(X₁, Y₁) и b(X₂, Y₂) через их координаты выражается следующим образом: (a, b) = X₁ · X₂ + Y₁ · Y₂

Из определения скалярного произведения можно найти косинус угла, выраженный через координаты векторов.

$\cos{\phi}=\frac{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}}$

Следствие. Вектор b(Y, -X) будет перпендикулярен вектору a(X, Y).

 

В трехмерном пространстве для векторов a(X₁, Y₁ , Z₁) и b(X₂, Y₂,  Z₂) соответственно формула скалярного произведения выражается: (a, b) = X₁·X₂ + Y₁·Y₂  + Z₁·Z₂ ,  а для угла -

 

Векторное произведение двух векторов – это вектор, обозначаемый [a × b], который определяется следующими условиями:

1. длина вектора |[× | = |a|·|b >sinφ; угол между векторами (т.е. равна S - площади параллелограмма, построенного на сторонах a и b);
2. [a × ] вектор перпендикулярong>a, так и вектору b;
3. [a × b как ось oz span >ox и oy, то есть вектора a, и [a × b] образуют правую тройку (по правилу “буравчng>a поворачиват>b по меньшему углу).

 

Векторное произведение геометрически представлено на рис.4.

Векторное произведение двух векторов через координаты выражается следующим образом:

[a × b] = (Y₁· Zb>2· Z lang=EN- US>1 )·i + (Zn>· X₂ - Z_{ub>· Xan >1})nt-family: Symbol'>×j + (X₁·Y_{2 >- X2}· Y _pan>)Следует обратить внимание на многозначность свойств приведенных геометрических понятий, которые можно использовать в различных задачах. Например, для понятия векторное произведение:

• длина результирующего вектора определяет площадь параллелограмма, построенного на заданных векторах;
• нулевое значение длины — параллельность векторов;
• результирующий вектор определяет нормаль к плоскости заданных векторов;
• его направление означает, что один вектор расположен «слева» или «справа» относительно другого.

4.1.3. Уравнения прямой и окружности на плоскости

a)      Через заданную на плоскости точку с координатами (X₀,y₀) можно провести прямую, перпендикулярную вектору $n$(a,b). Для любой точки на этой прямой с координатами (X,Y) направляющий вектор a =lang=EN- US> {X – X₀, y – y₀} перпендикулярен  вект>n, т.е. скалярное произведение (strong>, a) = 0 или A(X – X₀) + B(Y – y₀) = 0. Раскрывая скобки, легко получить  классическое уравнение прямой Ax + By/i> C = 0, где константа C = -A X₀ -B y₀.

b)      Уравнение прямй данной Axspan>+ By US> + C = 0, имеет вид
Bx - Ay + C₁ = 0.

<0pt 0cm 0cm;text-indent:17.0pt'>c)      Уравненодящей через две различные точки с координатами (X₁, US> y₁) и (X₂, ), выражается следующей формулой:

Эта формула выражает коллинеарность векторов {X – X₁, Y – y₁} и {X₂ – X₁, y₂ – y₁} для любой то) на прямой.

От этого уравнения тоже легко перейти к уравнению классического вида Ax + By + C = 0, где A = Y₁ – span >y₂, Bp;= x_{2 US>} – x₁, C =X₁ Y₂– X₂ Y₁.

d)     Уравнение прямой в параметрическом виде задается системой уравненийgin-left:35.4pt;'>x =  x₁sp;t (x₂ – x₁)

y  =  y+ t (y₂< >– y₁).<margin-left:35.4pt;'>Эта же система может задавать и отрезок при t2; [0, 1], и луч при t ͧfty]$.

e)      Уравнении с центром в точке с координатами  (X₁, ub>1) и радиусом r имеет вид: (X _> – x₁ (Y –  Y₁)span>r².

f)       Уравнения окружности в параметрическом виде выглядят так:

;=  x_S>1+ r cos

y  =  y₁ + r sinφ  при φ ∈ [0, 2π]

Примеры задач

Пересечение 2-х прямых

${A_1}x+{B_1}y+C_1=0$
${A_2}x+{B_2}y+C_2=0$
$x,y - ?$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = \frac{-{B_1}y-C_1}{A_1}$ Выразим $x$ из второго уравнения: $x = \frac{-{B_2}y-C_2}{A_2}$ Приравняем их: $\frac{{B_1}y+C_1}{A_1} = \frac{{B_2}y+C_2}{A_2}$ ${A_1}{B_2}y+{A_1}{C_2}={A_2}{B_1}y+{A_2}{C_1}$ $y = \frac{{A_2}{C_1}-{A_1}{C_2}}{ {A_1}{B_2}-{A_2}{B_1} }$ $x = \frac{-{C_1}-B_1y}{A_1}$ Или по симметрии заменить A на B: $x = \frac{{B_2}{C_1}-{B_1}{C_2}}{ {B_1}{A_2}-{B_2}{A_1} }$

Отрезки при помощи векторов